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舒尔不等式的介绍

2021-11-30 3

已知:a,b,c∈R,r∈R,则有a^r*(a-b)*(a-c)+b^r*(b-a)*(b-c)+c^r*(c-a)*(c-b)>=0
下证r=1时的情形
说明,对于所有的非负实数x、y、z和正数t,都有:已知x,y,z>=0
则∑(x^t)(x-y)(x-z)>=0
当且仅当x = y = z,或其中两个数相等而另外一个为零时,等号“=”成立。当t是正的偶数时,不等式对所有的实数x、y和z都成立。
舒尔(schur)不等式的证明:
不妨设x>=y>=z
∑x(x-y)(x-z)
=x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z)+z(z-x)(z-y)
>=x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z)
>=x(x-y)(y-z)+y(y-x)(y-z)
=(x-y)^2(y-z)
>=0
t不是1时同理可证
事实上,当t为任意实数时,我们仍可证明Schur不等式成立。
Schur不等式虽不是联赛大纲中规定掌握的不等式,但在联赛不等式证明题中仍能发挥重要作用。
等价形式:(x+y-z)(x+z-y)(y+z-x)<=xyz 这个就是2000年IMO试题
还有如果x,y,z是三角形三边,那么就等价于cosA+cosB+cocC<=3/2
同上若是三边,就等价于R>=2r

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